FPB dan KPK

FPB DAN KPK

A.    FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)

FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan.

Cara mencari FPB:

1.      Menggunakan himpunan faktor persekutuan

Contoh: Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24!

Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = {1, 2, 3, 6}

FPB dari 18 dan 24 = 6

2.      Menggunakan pohon faktor

a.       Membuat pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.

b.      Menuliskan faktorisasi primanya.

c.       Memilih bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.

d.      Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, mengambil bilangan prima dengan pangkat terendah.

Contoh: Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30!

Keterangan:

a.       2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima pada kedua pohon faktor.

b.      Pangkat terendah dari 2 adalah 1.

c.       Pangkat terendah dari 5 adalah 1.

d.      Maka FPB = 2 × 5 = 10.

3.      Menggunakan tabel

a.       Membuat tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.

b.      Memberi tanda faktor prima yang sama.

Contoh: Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54!

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

FPB = 2 × 3 × 3

                    = 2 × 3²

        = 18

B.        KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

KPK merupakan kelipatan paling kecil dari gabungan beberapa bilangan.

Cara mencari KPK:

1.      Menggunakan himpunan kelipatan persekutuan

Contoh: Tentukan KPK dari 8 dan 12!

Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}

Kelipatan 12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, ...}

Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 = {24, 48, ...}

KPK dari 8 dan 12 = 24

2.      Menggunakan pohon faktor

a.       Membuat pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.

b.      Menuliskan faktorisasi primanya.

c.       Mengalikan semua faktorisasi prima.

d.      Jika suatu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, maka mengambil bilangan dengan pangkat tertinggi.

Contoh: Tentukan KPK dari 8, 24, dan 36!

Keterangan:

a.       2 dan 3 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.

b.      Pangkat tertinggi dari 2 adalah 3.

c.       Pangkat tertinggi dari 3 adalah 2.

d.      Maka KPK = 2³ × 3² = 72.

3.      Menggunakan tabel

a.       Membuat tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya.

b.      Mengalikan semua faktor prima.

Contoh: Tentukan KPK dari 16 dan 40!

	16	40
2	8	20
2	4	10
2	2	5
2	1	5
5	1	1

KPK = 2 × 2 × 2 × 2 × 5

         = 2⁴ × 5 = 80

Contoh soal cerita yang berkaitan dengan FPB dan KPK:

1.      Doni mempunyai 20 butir kelereng merah, 28 butir kelereng putih, dan 36 butir kelereng biru. Kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kantong dengan isi sama banyak. Berapa kantong yang diperlukan? Berapa butir kelereng merah, kelereng putih, dan kelereng biru dalam satu kantong?

Penyelesaian:

FPB dari 20, 28, dan 36.

	20	28	36
2	10	14	18
2	5	7	9
3	5	7	3
3	5	7	1
5	1	7	1
7	1	1	1

FPB dari 20, 28, dan 36 = 2 × 2 = 4

Jadi jumlah kantong yang diperlukan = 4 kantong.

Isi tiap kantong:

a.       Kelereng merah = 20 : 4 = 5 butir.

b.      Kelereng putih = 28 : 4 = 7 butir.

c.       Kelereng biru = 36 : 4 = 9 butir.

2.      Pak Andi mendapat giliran ronda setiap 4 hari. Pak Karim mendapat giliran ronda setiap 6 hari. Pak Tedi mendapat giliran ronda setiap 8 hari. Setiap berapa hari mereka ronda bersama-sama? Jika mereka ronda bersama-sama tanggal 1 Januari 2008, tanggal berapakah mereka ronda bersama-sama lagi?

Penyelesaian:

KPK dari 4, 6, dan 8.

	4	6	8
2	2	3	4
2	1	3	2
2	1	3	1
3	1	1	1

KPK dari 4, 6, dan 8 = 2 × 2 × 2 × 3

                                  = 2³ × 3

                                  = 8 × 3

                                  = 24

Jadi mereka ronda sama-sama lagi pada tanggal 25 Januari 2008.

cerita

Kerbau dan Kucing

Setiap kali Kerbau Jantan dan Kerbau Betina berangkat ke sawah, Kucing masih tidur melingkar di pojokan rumah. Kucing hanya menggeliat, menguap lalu tidur kembali ketika mengetahui Kerbau lewat di dekatnya.

“Setiap hari kerjanya hanya tidur,” gumam Kerbau Jantan. “Tidur, bangun untuk makan lalu tidur lagi. Enak benar hidupnya. Tidak seperti kita harus kerja keras membajak sawah.”

“Sudahlah,” sela Kerbau Betina. “Masih pagi kok sudah berkeluh kesah. Ayo jalan terus, nanti kita terlambat tiba di sawah.”

Sambil meneruskan langkahnya sesekali Kerbau Jantan masih menoleh ke arah Kucing. Lalu katanya, “Sudah kerjanya hanya tidur, makanannya enak. Uh, tidak adil sekali…”

Kerbau Betina tertawa mendengar keluh kesah suaminya. “Tidak adil bagaimana?” tanyanya kemudian.

“Jelas tidak adil, dong,” sahut Kerbau Jantan. “Kita berdua kerja keras di sawah dari pagi sampai petang. Tapi apa yang kita peroleh? Hanya rumput-rumput saja setiap hari kan?”

Kerbau Betina kembali tertawa mendengar kata-kata Kerbau Jantan.

“Jangan tertawa terus!” hardik Kerbau Jantan.

“Habis kita disuruh makan apa? Ikan, daging? Seperti Kucing?” kata Kerbau Betina. “Kita kaum Kerbau memang sudah ditakdirkan oleh Yang Maha Kuasa untuk makan rumput. Dan tugas kita adalah membantu Pak Tani membajak di sawah.”

“Lalu apa tugas Kucing?” tanya Kerbau Jantan. “Tidur, tidur, dan tidur lalu makan ikan dan daging.”

“Jangan mengungkit-ungkit lagi soal makanan,” kata Kerbau Betina. “Walaupun kita hanya makan rumput, tapi tubuh kita besar dan kuat. Kita bisa membajak sawah. Kucing makan ikan dan daging, tapi tubuhnya tetap kecil kurus. Ia tidak sekuat kita dan tentu tugasnya juga lain. Sudahlah, kalu kita terus berdebat tetntu tak akan sampai sawah.”

Setiap hari Kerbau dan pasangannya selalu membajak sawah setiap hari. Ketika pekerjaan membajak sawah selesai, kadang-kadang Kerbau disuruh menarik gerobak. Gerobak itu berisi bibit tanaman ataupun pupuk serta obat-obatan pembasmi hama. Kerbau Jantan dan Kerbau Betina sedikit pun tidak pernah membantah. Semua tugas yang diperintahkan Pak Tani selalu mereka kerjakan dengan sepenuh hati.

Kemudian tibalah masa panen. Padi di sawah dituai, dijemur, lalu dibawa pulang ke rumah oleh Pak Tani. Padi-padi tersebut lalu dimasukkan ke dalam lumbung.

Masa panen merupakan masa istirahat bagi Kerbau. Untuk jangka beberapa lama, sawah dibiarkan menganggur dan tidak ditanami apa-apa. Setiap hari Kerbau Jantan dan Kerbau Betina hanya duduk-duduk saja di dalam kandangnya.

Hampir setiap malam suasana dalam lumbung pdi yang terletak tak jauh dari kandang Kerbau selalu ramai. Dari dalam lumbung itu selalu terdengar jerit para tikus dan teriakan Kucing. Kejadian seperti itu selalu terjadi hampir setiap malam dan berlangsung sepanjang waktu.

“Lihatlah si Kucing!” kata Kerbau Betina di suatu pagi pada Kerbau Jantan sambil menunjuk pada Kucing yang masih tidur melingkar. “Ia pasti kecapekan karena terus berjaga sepanjang malam. Tugas kita di sawah sudah selesai. Dan tugas Kucing baru dimulai, yaitu menjaga padi-padi di lumbung. Setiap hewan yang hidup di dunia ini memang mempunyai tugas kewajiban sendiri-sendiri.”

Kerbau Jantan hanya diam, dalam hatinya ia mengakui semua yang dikatakan Kerbau Betina. Sejak itu ia tak pernah lagi mempersoalkan Kucing.

manfaat susu kedelai

Susu Kedelai si Alternatif Wahid

Air susu ibu (ASI) merupakan minuman dan makanan terbaik yang alami untuk bayi. Paling bersih, bergizi, dan murah. Namun, berbagai kendala yaitu tidak sedikit kaum ibu menggantikan ASI dengan susu sapi. Padahal, banyak anak terutama elergi terhadap susu sapi. Responnya berupa mual, muntah, diare, dan gejala sakit perut lainnya. Ini penanda system pencernaan tidak mampu mencerna dam menyerap laktosa (lemak susu) disebut Intoleransi Lakastosa, yang disebabkan terbatasnya enzim lactase dalam tubuh yang berfungsi memecah laktosa menjadi glukosa dan galaktosa (monosakarida) agar lebih mudah dicerna usus.

Alternative lain, susu kedelai dijadikan pengganti susu sapi dan minuman pendamping ASI. Kelebihan susu kedelai adalah tidak adanya laktosa susu. Karena itu, anak yang alergi terhadap susu sapi dianjurkan mengkonsumsi susu kedelai, juga orang dewasa yang aergi mengkonsumsi susu sapi.  Khususnya untuk balita, susu kedelai diberikan setelah anak berumur di atas satu tahun. Porsinya cukup 250-500 ml atau 1-2 gelas perhari. Dua gelas susu kedelai mampu mensuplai 30% kebutuhan protein balita. Susu kedelai diberikan setelah atau sebelum makan, tergantung kebiasaan dan selera anak.

Manfaat Penting Susu Kedelai bagi Kesehatan

1.      Minuman bagi Penderita Autisme

Autisme merupakan gangguan perkembangan pada masa anak-anak, sehingga seseorang tidak mampu mengadakan interaksi social dan seolah-olah hidup dalam dunianya sendiri. Autisme pada anak-anak biasanya disebut Autisme Infatil. Penderita autisme sebaiknya tidak mengkonsumsi makanan yang mengandung Kasien (Protein Susu) dan Glutein (Protein Tepung). Karena sulit dicerna dan menyebabkan gangguan fungsi otak. Jika dikonsumsi perilaku penderita autisme menjadi lebih hiperaktif. Sumber Kasein dari susu hewani (susu sapi) serta berbagai macam produknya, seperti keju. Bagi penderita autisme, susu dapat digantikan dengan susu kedelai. Dengan demikian, para penderita autisme tetap memperoleh masukan protein, vitamin, dan mineral yang cukup. Hal terpenting dari semua itu, susu kedelai tidak mengandung Kasein dan Glutein.

2.      Minuman Vegetarian

Vegetarian atau orang yang pantang makan daging termasuk produk pangan dari hewan seperti telur, susu, serta hasil olahannya. Padahal vegetarian membutuhkan sumber gizi tinggi bagi pertumbuhan dan perkembangan tubuh. Bagi vegetarian, susu kedelai dapat disajikan sebagai minuman utama. Selain enak dan menyegarkan, nilai gizinya tidak kalah dengan susu sapi. Susu kedelai merupakan minuman sumber vitamin B1, B2, B6, dan vitamin A, sumber mineral seperti kalsium, magnesium, selenium, dan fosfor, sumber karbohidrat, sumber protein, serta sumber lemak.

3.      Mengurangi Kadar Kolesterol Darah

Dalam tubuh, kolesterol bergabung dengan protein, membentuk senyawa disebut Liprotein. Yang terdiri dari dua jenis yaitu Low Density Lipoprotein (LDL) dan High Density Lipoprotein (HDL). LDL dikenal sebagai kolesterol jahat, karena memicu penumpukan plak kolesterol di dinding pembuluh darah arteri. Sementara HDL dikenal sebagai kolesterol baik, karena berfungsi membersihkan kolesterol di dinding arteri dan membawanya kembali ke hati, tempat kolesterol dipecah dan dikeluarkan. Susu kedelai mampu menghalau kolesterol jahat (LDL), karena susu kedelai mengandung Lesitin yang bersifat mengelmusi (melarutkan) kolesterol dalam darah, sehingga tidak ada lagi penyempitan dan penyumbatan. Khasiat Lesitin diteliti Dr. Edward dan dipublikasikan dalam Biocontrol News and Information, Discover Science News. Selain Lesitin, zat gizi yang dapat menggempur kolesterol adalah Isoflavon sebagai antioksidan dan mampu meningkatkan HDL. Penelitian America Heart Association menunjukkan konsumsi susu kedelai selama tiga bulan mampu meningkatkan HDL rata-rata 4,7%.

4.      Mencegah Arteriosklerosis, Hipertensi, Jantung Koroner, dan Stroke

Selain Lesitin dan Isoflavon, susu kedelai juga mengandung vitamin E (Tokoferol) yang membantu mencegah penyakit jantung koroner dan stroke. Vitamin ini mencegah Teroksidasi kolesterol LDL, sehingga tidak menimbulkan plak penyebab tersumbatnya pembuluh darah arteri, dan meremajakan darah arteri yang sudah tua sehingga lebih elastic dan menghindari Arteriosklerosis (pengerasan pembuluh darah). Penelitian Havard University, menunjukkan mereka yang memperoleh vitamin E 200 LU per hari, resiko mendapatkan gangguan kardiovaskular berat menurun sebesar 34%. Kandungan asam folat dan vitamin B6 dalam susu kedelai dapat mencegah penyakit jantung. Susu kedelai juga mengandung mineral magnesium yang mampu mengatur tekanan darah seseorang. Penelitian Jery I. Nadler dari City of Hope Medical Center California, menyebutkan magnesium mampu menghambat pelepasan trombosit (kepingan darah) menjadi lebih lengket dan mudah membentuk gumpalan, sehingga mampu mencegah naiknya tekanan darah, mencegah stroke dan gangguan jantung.

5.      Mencegah Diabetes Melitus

Diabetes Melitus muncul karena tubuh kekurangan insulin, akibat kelainan metabolisme karbohidrat, protein, lemak, air, dan elektrolit. Susu kedelai mengandung Asam Amino Glisin dan Asam Amino Arginin menjaga keseimbangan Hormon Insulin. Selain itu protein dalam susu kedelai mudah siterima organ ginjal dibandingkan dengan protein hewani. Karena itu susu kedelai baik diminum oleh penderita Diabetes Melitus.

6.      Menghambat Menopouse dan Mencegah Osteoporosis

Proses menopouse  ditandai dengan berhentinya siklus menstruasi, kerap menimbulkan gangguan psikis dan fisik yang mengganggu, baik sebelum maupun setelah memasukinya. Berhentinya siklus haid wanita (menopause) dipengaruhi hormone estrogen yang diproduksi kelenjar ovarium, sehingga terapi medis memberikan Hormon Replacement Teraphy (THR). Meskipun cukup ampuh mengatasi beberapa syndrome menopause tetapi dalam jangka panjang bisa menyebabkan gangguan kesehatan antara lain kanker payudara (33%), stroke (49,1%), Thromboemboli (12,53%), dan penyakit jantung (34,4%). Woman Health Initiative USA, solusi yang bisa dilakukan adalah  terus menerus mencari dan meneliti Fito-Astrogen atau estrogen yang berasal dari tumbuh-tumbuhan. Salah satunya yang terbukti efektif mengatasi syndrome menopause adalah Isoflavon dalam susu kedelai. Selain harganya murah, produknya dikenal masyarakat. Selain Isoflavon, zat gizi susu kedelai yang mampu menghambat menopause adalah vitamin E, bermanfaat menjaga keseimbangan hormone yang mampu memperlambat terjadinya menopause. Vitamin E alami lebih mudah diserap tubuh dibandingkan vitamin E sintetik. Selain mampu menghambat menopause, Isoflavon ternyata juga mampu mencegah Osteoblastik melalui aktivitas reseptor estrogen dan meningkatkan produksi hormone pertumbuhan. Mengkonsumsi susu kedelai secara teratur dapat mempertahankan tulang tengkorak dan tulang belakang.

7.      Mencegah Migrane

Migraine atau sakit kepala sebelah yang berulang-ulang bersifat idiopatik (timbul dengan sendirinya tanpa diketahui penyebabnya), bersifat kambuhan. Penyakit ini banyak menyerang wanita dibandingkan pria (3:1). Factor utamanya adalah adanya siklus hormonal pada wanita. Dengan sifatnya yang idiopatik, migraine sangat berkaitan dengan perubahan biokimiawi. Mengkonsumsi susu kedelai bias mencegah dan meredakan migraine, terutama yang disebabkan defisiensi zat gizi. Karena susu kedelai merupakan sumber vitamin B komlpeks (kecuali B12), mineral (terutama kalium), dan Asam Amino (terutama Lisin) dengan jumlah cukup tinggi.

8.      Minuman Anti Kanker

Pernah dengar atau lihat iklan susu yang mampu mencegah kanker? Susu tersebut adalah Soymilk alias susu kedelai. Karena susu kedelai merupakan salah satu minuman kesehatan sumber mineral, selenium, vitamin E, Isoflavon, dan Asam Amino Triptopan. Untuk mengatasi paparan radikal bebas pemicu kanker diperlukan zat atau senyawa yang berfungsi sebagai antioksidan. Selain selenium, antioksidan pada susu kedelai adalah vitamin E dan Genestein, yang secara sinergis mampu menghalau kanker.

Sumber: Buletin Tirta edisi VII/2011

dongeng

Harapan Sang Peri

Pada zaman dahulu, ketika di dunia ini masih ada peri dan bidadari, tersebutlah seorang wanita yang baru saja melahirhan seorang bayi laki-laki. Sebelumnya seorang wanita itu telah mengundang seorang peri untuk hadir pada kelahiran sang bayi. Ia berharap sang peri memberikan berkah bagi anaknya yang sedang dalam buaian.

Ketika sang Peri telah muncul dan membungkuk di atas ayunan, bertanyalah sang Ibu, “Dapatkah Anda memberitahu kehidupan anakku di masa yang akan datang?”

“Ya,” jawab sang Peri. “Anakmu akan menjadi seorang yang pandai dan bijak. Tetapi orang-orang akan melihat bahwa ia akan buruk rupa.”

Sang Ibu terkejut.

“Ah, Peri yang baik hati,” pintanya, “berilah lagi ia berkah, agar ia memperoleh sedikit keelokan.”

Sang Peri menggelengkan kepala.

“Aku telah memintakan yang terbaik untuknya,” sahut sang Peri ramah. “Dia akan mempunyai kekuatan dan daya pikir yang baik. Dia juga murah hati dan mencintai sesama manusia.”

Karena sang anak lahir ke dunia dengan jambul di kepalanya, maka orang-orang menyebutnya “Raka Jambul”.

“Anakku memang buruk rupa, tapi pandai luar biasa,” itu yang selalu dikatakan sang Ibu.

“Dia pintar, sayang buruk rupa,” begitu orang-orang berkata.

Dan benar saja, segera Raka dapat berbicara. Dia banyak bercerita tentang hal-hal yang luar biasa dan menarik hati. Maka setiap orang kagum padanya. Ketika ia bertambah dewasa, ibunya mengirimkannya ke sekolah. Dan orang-orang di sekitarnya selalu membicarakan tentang kepandaiannya.

Sementara itu, pada tahun yang sama, saat Raka dilahirkan, seorang wanita lain dari desa tetangga, melahirkan pula seorang bayi perempuan. Seorang peri juga hadir pada kelahirannya dan memberikan berkah padanya.

“Peri yang baik hati,” kata sang Ibu. “Dapatkah Anda memberikan gambaran kehidupan anakku di masa yang akan datang?”

“Tentu,” kata sang Peri. “Putrimu kelak akan menjadi seorang gadis yang cantik jelita. Tetapi orang-orang menganggap ia sangat bodoh.”

Sang Ibu tersentak.

“Peri yang baik hati,” mohon sang Ibu. “Berkatilah lagi anakku, agar ia memiliki sedikit kecerdasan.”

Sang Peri menggeleng.

“Aku tahu apa yang terbaik untuk anakmu,” katanya ramah. “Dia akan memiliki kekuatan dan kecantikan yang luar biasa. Dan memiliki kemurahan hati dan rasa saying terhadap sesama manusia.”

Karena gadis itu sedemikian cantiknya, orang-orang memanggilnya “Sintia Cantik”.

“Sintiaku memang agak bodoh, tapi ia cantik luar biasa,” kata sang Ibu.

“Sintia memang luar biasa cantik, sayang ia bodoh,” kata mereka.

Dan begitulah, hari demi hari Sintia bertambah cantik dan cantik. “Cantik seperti Sintia,” begitu yang sering diucapkan orang-orang bila ingin menggambarkan sesuatu yang menarik hati. Sayang, gadis itu tidak disekolahkan. Semua orang beranggapan gadis itu sungguh tak berguna. Karena dia kurang cakap dalam berbicara, atau karena ia tak dapat menjawab dengan baik. Sering ia ditegur karena kebodohannya itu. Sementara pemuda-pemuda di sana sebenarnya memuja kecantikannya. Namun mereka lebih suka bergaul dengan gadis lain yang tidak begitu cantik, tapi dapat bercakap-cakap dengan lincah. Sintia menyadari semua itu.

Suatu hati, ketika sang Ibu kembali memarahinya, dengan sedih hati pergilah Sintia ke hutan. Ketika ia berjalan tak tentu arah, dari sela-sela pepohonan muncullah seorang pemuda. Pemuda itu memandangnya dengan wajah aneh. Dahinya penuh kerut-kerutan. Dia sama sekali tidak cakap. Dia adalah Raka Jambul.

Raka merasa heran ketika memandang Sintia.

“Bagaimana seorang gadis yang amat cantik sepertimu, berwajah murung?” katanya.

“Saya sedih, karena saya bodoh,” jawab Sintia. “Saya ingin, saya tidak terlalu cantik dan memiliki sedikit kepandaian.”

Raka tertawa karena takjub.

“Kau ingin dirimu pandai, maka engkau tidak bodoh,” katanya. “Orang–orang yang bodoh tidak mengetahui bahwa mereka kurang pandai.”

“Itu aku tidak tahu,” jawab Sintia.

Tiba-tiba ia menyadari, bahwa ia tidak lagi merasa kesulitan untuk mengungkapkan pertanyaan dan jawaban. Dia tidak takut lagi ditegur. Dan berani mengatakan apa yang ada di kepalanya dengan mudah.

Raka Jambul semakin terpesona pada gadis itu. Dia telah jatuh cinta pada gadis itu. Tapi apakah seorang gadis yang begitu cantik dan pintar mau membalas cintanya, pikirnya murung.

“Nah, sekarang kau bersedih,” kata Sintia. “Mengapa?”

“Karena aku buruk rupa,” kata Raka Jambul.

Sintia memandang padanya dan tertawa. Menurutnya belum pernah ia memandang pria secakap dia.

“Tapi kau sama sekali tidak buruk rupa,” katanya lembut.

Akhirnya, kedua insan itu menikah dan hidup bahagia selamanya.

Maka, keinginan sang Peri pun terpenuhi.